Vektörler
\( \overrightarrow A = A_{x}\overrightarrow i+A_{y}\overrightarrow j+A_{z} \overrightarrow k \) ve \( \overrightarrow B = B_{x}\overrightarrow i+B_{y}\overrightarrow j+B_{z} \overrightarrow k \) herhangi iki vektör olsun. Burada \( \overrightarrow i \) , \(\overrightarrow j \) ve \(\overrightarrow k \) sırasıyla x, y ve z yönlerindeki birim vektörler; \( A_{x} \) , \( A_{y} \) ve \( A_{z} \), \( \overrightarrow A \) vektörünün bileşenleridir.
Vektörün büyüklüğü
$$ A = \sqrt{A_{x}^2 + A_{y}^2 + A_{z}^2} $$ (1.1)
Örnek 1.1
Vektörlerin skaler çarpımlarını kullanarak Kosinüs Teoremini
$$ A^2 + B^2 - 2 A B cos \theta = C^2 $$
Örnek Çözüm 1.1
\( \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{C} \) olsun. Her iki taraf kendisiyle skaler çarpılırsa \[(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}).(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}) = \overrightarrow{C}.\overrightarrow{C}\] veya \[A^2+B^2-2 \overrightarrow{A} \overrightarrow{B}=C^2\] (1.6) bağıntısı bulunur. Denk 1.5'ten \( \overrightarrow{A}.\overrightarrow{A} \) çekilip, denk 1.6'da yerine konursa \[A^2+B^2-2AB cos \theta=C^2\] (1.7) eşitliği elde edilir.
Örnek Problem 1.2
Vektörlerin vektörel çarpımlarını kullanarak, Sinüs Teoremini \[ \frac{sin \theta}{B}=\frac{sin \alpha}{C} \] çıkarınız.
Örnek Çözüm 1.2
\(A+B=C\) olsun. Eşitliğin her iki tarafını sol taraftan A ile vektörel olarak çarpalım: \[Ax(A+B)=AxC\] veya \[AxA+AxB)=AxC\] (1.17) AxA=0 olduğundan, denk. 1.17'nin mutlak değeri alınırsa \[A.B sin \alpha = A.C sin \theta\] veya \[ \frac{sin \theta}{B}=\frac{sin \alpha}{C} \] eşitliği elde edilir.
Örnek Problem 1.3
Gösterim için hazırlanan bir deney düzeneğinde; avcı, h yüksekliğindeki maymun maketine nişan alıyor. Tüfek ateşlendiği anda, maymun aşağı bırakılıyor. Avcının, v0 hızı ne olursa olsun, maymunu her zaman vuracağını gösteriniz. Örnek Çözüm 1.3
Herhangi bir anda, maymunun ve merminin koordinatları sırasıyla \[y_{maymun}=h- \frac{1}{2}gt^2\] (1.30) \[x_{mermi}=v_{0} cos \theta t\] (1.31) \[y_{mermi}=x_{0} sin \theta t - \frac{1}{2}gt^2\] (1.32) olur. Mermi, maymuna çarptığı anda \[y_{maymun}=y_{mermi}\] (1.33) olmalıdır. Denk 1.31'den t çekilip, denk 1.30 ve 1.32'de yerine konduktan sonra, bu denklemler eşitlenirse \[h=x_{mermi} tan \theta\] (1.34) bağıntısı bulunur. Denk. 1.34, her zaman sağlandığından; maymunun, mermiden kurtulma şansı yoktur.
\( \overrightarrow A = A_{x}\overrightarrow i+A_{y}\overrightarrow j+A_{z} \overrightarrow k \) ve \( \overrightarrow B = B_{x}\overrightarrow i+B_{y}\overrightarrow j+B_{z} \overrightarrow k \) herhangi iki vektör olsun. Burada \( \overrightarrow i \) , \(\overrightarrow j \) ve \(\overrightarrow k \) sırasıyla x, y ve z yönlerindeki birim vektörler; \( A_{x} \) , \( A_{y} \) ve \( A_{z} \), \( \overrightarrow A \) vektörünün bileşenleridir.
Vektörün büyüklüğü
$$ A = \sqrt{A_{x}^2 + A_{y}^2 + A_{z}^2} $$ (1.1)
Örnek 1.1
Vektörlerin skaler çarpımlarını kullanarak Kosinüs Teoremini
$$ A^2 + B^2 - 2 A B cos \theta = C^2 $$
Örnek Çözüm 1.1
\( \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{C} \) olsun. Her iki taraf kendisiyle skaler çarpılırsa \[(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}).(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}) = \overrightarrow{C}.\overrightarrow{C}\] veya \[A^2+B^2-2 \overrightarrow{A} \overrightarrow{B}=C^2\] (1.6) bağıntısı bulunur. Denk 1.5'ten \( \overrightarrow{A}.\overrightarrow{A} \) çekilip, denk 1.6'da yerine konursa \[A^2+B^2-2AB cos \theta=C^2\] (1.7) eşitliği elde edilir.
Örnek Problem 1.2
Vektörlerin vektörel çarpımlarını kullanarak, Sinüs Teoremini \[ \frac{sin \theta}{B}=\frac{sin \alpha}{C} \] çıkarınız.
Örnek Çözüm 1.2
\(A+B=C\) olsun. Eşitliğin her iki tarafını sol taraftan A ile vektörel olarak çarpalım: \[Ax(A+B)=AxC\] veya \[AxA+AxB)=AxC\] (1.17) AxA=0 olduğundan, denk. 1.17'nin mutlak değeri alınırsa \[A.B sin \alpha = A.C sin \theta\] veya \[ \frac{sin \theta}{B}=\frac{sin \alpha}{C} \] eşitliği elde edilir.
Örnek Problem 1.3
Gösterim için hazırlanan bir deney düzeneğinde; avcı, h yüksekliğindeki maymun maketine nişan alıyor. Tüfek ateşlendiği anda, maymun aşağı bırakılıyor. Avcının, v0 hızı ne olursa olsun, maymunu her zaman vuracağını gösteriniz. Örnek Çözüm 1.3
Herhangi bir anda, maymunun ve merminin koordinatları sırasıyla \[y_{maymun}=h- \frac{1}{2}gt^2\] (1.30) \[x_{mermi}=v_{0} cos \theta t\] (1.31) \[y_{mermi}=x_{0} sin \theta t - \frac{1}{2}gt^2\] (1.32) olur. Mermi, maymuna çarptığı anda \[y_{maymun}=y_{mermi}\] (1.33) olmalıdır. Denk 1.31'den t çekilip, denk 1.30 ve 1.32'de yerine konduktan sonra, bu denklemler eşitlenirse \[h=x_{mermi} tan \theta\] (1.34) bağıntısı bulunur. Denk. 1.34, her zaman sağlandığından; maymunun, mermiden kurtulma şansı yoktur.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder