Basit Harmonik Hareket
(Mekanik Problemleri - Mehmet Bayındır)
\(m\) kütleli bir blok, yay sabiti \(k\) olan bir yayın ucuna tutturulmuştur. Blok, denge konumundan hafifçe çekilip serbest bırakılınca, basit hareket yapmaya başlıyor. Herhangi bir anda, yayın denge konumuna uzaklığı \(x\) olsun. Bu anda bloğa etki eden kuvvet, yerdeğiştirme ile orantılıdır:
\[F (x) = -kx \] (6.1)
Newton'un ikinci yasasından
\[m \frac{d^2 x}{dt^2}=-kx \Rightarrow \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0 \] (6.2) hareket denklemi
\[ x(t)=x_{m} cos(\omega t + \alpha) \] (6.3)
bulunur. Burada \( x_{m} \) basit harmonik hareketin genliği, \( \omega = \sqrt{k/m} \) frekansı \( \alpha \) faz açısıdır.
periyodu \[T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] (6.4)
potansiyel enerjisi \[U=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kx_{m}^2 cos(\omega t + \alpha)\](6.5)
kinetik enerjisi \[K=\frac{1}{2}m\dot{x}^2=\frac{1}{2}m \omega^2x_{m}^2sin(\omega t + \alpha )\](6.6)
Sistem sürtünmesiz olduğundan, toplam enerji korunur:
\[E=K+U=\frac{1}{2}k x_{m}^2\]
veya bloğun herhangi bir andaki hızı \[\frac{1}{2}k v^2 + \frac{1}{2}k x^2 = \frac{1}{2}k x_{m}^2\] \[v(x)=\frac{dx}{dt}=\pm\sqrt{\frac{k}{m}(x_{m}^2-x^2)}\] (6.7) olur. Sistemin kinetik ve potansiyel enerjisi, denge konumu z=0 olan bir değişkene göre yazılabiliyorsa \[K(z) = \frac{1}{2}m_{etkin} \dot{z}^2\] (6.8) \[U(z) = \frac{1}{2}k_{etkin} z^2\] (6.9) hareketin frekansı \[\omega = \sqrt{\frac{k_{etkin}}{m_{etkin}}}\] (6.10) olur. \[\sum F_{y} = mg - ky = m \frac{d^2y}{dt^2}\]
Örnek Problem 6.1
m kütleli bir blok, yay sabiti k olan dikey bir yayın ucuba sarılmıştır. Blok, aşağı doğru hafifçe çekilip serbest bırakılınca, basit harmonik hareket yapmaya başlıyor. Bloğun hareket denklemini ve frekansını bulunuz.
Örnek Çözüm 6.1
Herhangi bir anda yay y kadar gerilmiş olsun. Bu durumda, bloğa etki eden kuvvetler şekilde gösterilmiştir. Newton'un ikinci yasasından
\[\sum F_{y} = mg - ky = m \frac{d^2y}{dt^2}\](6.11)
bulunur. Denklemi çözebilmek için, bloğun yeni denge konumunu belirten bir değişken kullanalım.
Blok dengeye geldiğinde, yay
\[\Delta = \frac{mg}{k}\](6.12)
kadar genişler. Dolayısıyla, herhangi bir anda bloğun denge konumuna uzaklığı
\[y'=y- \Delta y = y - \frac{mg}{k}\](6.13)
olur. Denk 6.13'ten y çekildikten sonra, denk 6.11'de yerine konursa
\[mg - k (y'+\frac{mg}{k}) = m\frac{d^2}{dt^2} (y'+\frac{mg}{k})\]
veya
\[\frac{d^2 y'}{t^2} + \frac{k}{m} y' = 0\](6.14)
bağıntısı elde edilir Denk 6.14, frekansı olan bir basit harmonik hareket denklemidir. Bu denklemin çözümünden
\[y'(t)=y_{m} cos(\omega t + \alpha)\]
veya denk 6.13 kullanılırsa
\[y(t)=y_{m} cos(\omega t + \alpha) + \frac{mg}{k}\](6.15)
ifadesi bulunur. Burada \(y_{m}\) BHH'in genliğidir. Denk. 6.15'ten görüldüğü gibi, yerçekimi, BHH frekansını değiştirmez sadece denge konumunun yerini değiştirir.
(Mekanik Problemleri - Mehmet Bayındır)
\(m\) kütleli bir blok, yay sabiti \(k\) olan bir yayın ucuna tutturulmuştur. Blok, denge konumundan hafifçe çekilip serbest bırakılınca, basit hareket yapmaya başlıyor. Herhangi bir anda, yayın denge konumuna uzaklığı \(x\) olsun. Bu anda bloğa etki eden kuvvet, yerdeğiştirme ile orantılıdır:
\[F (x) = -kx \] (6.1)
Newton'un ikinci yasasından
\[m \frac{d^2 x}{dt^2}=-kx \Rightarrow \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0 \] (6.2) hareket denklemi
\[ x(t)=x_{m} cos(\omega t + \alpha) \] (6.3)
bulunur. Burada \( x_{m} \) basit harmonik hareketin genliği, \( \omega = \sqrt{k/m} \) frekansı \( \alpha \) faz açısıdır.
periyodu \[T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] (6.4)
potansiyel enerjisi \[U=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kx_{m}^2 cos(\omega t + \alpha)\](6.5)
kinetik enerjisi \[K=\frac{1}{2}m\dot{x}^2=\frac{1}{2}m \omega^2x_{m}^2sin(\omega t + \alpha )\](6.6)
Sistem sürtünmesiz olduğundan, toplam enerji korunur:
\[E=K+U=\frac{1}{2}k x_{m}^2\]
veya bloğun herhangi bir andaki hızı \[\frac{1}{2}k v^2 + \frac{1}{2}k x^2 = \frac{1}{2}k x_{m}^2\] \[v(x)=\frac{dx}{dt}=\pm\sqrt{\frac{k}{m}(x_{m}^2-x^2)}\] (6.7) olur. Sistemin kinetik ve potansiyel enerjisi, denge konumu z=0 olan bir değişkene göre yazılabiliyorsa \[K(z) = \frac{1}{2}m_{etkin} \dot{z}^2\] (6.8) \[U(z) = \frac{1}{2}k_{etkin} z^2\] (6.9) hareketin frekansı \[\omega = \sqrt{\frac{k_{etkin}}{m_{etkin}}}\] (6.10) olur. \[\sum F_{y} = mg - ky = m \frac{d^2y}{dt^2}\]
Örnek Problem 6.1
m kütleli bir blok, yay sabiti k olan dikey bir yayın ucuba sarılmıştır. Blok, aşağı doğru hafifçe çekilip serbest bırakılınca, basit harmonik hareket yapmaya başlıyor. Bloğun hareket denklemini ve frekansını bulunuz.
Örnek Çözüm 6.1
Herhangi bir anda yay y kadar gerilmiş olsun. Bu durumda, bloğa etki eden kuvvetler şekilde gösterilmiştir. Newton'un ikinci yasasından
\[\sum F_{y} = mg - ky = m \frac{d^2y}{dt^2}\](6.11)
bulunur. Denklemi çözebilmek için, bloğun yeni denge konumunu belirten bir değişken kullanalım.
Blok dengeye geldiğinde, yay
\[\Delta = \frac{mg}{k}\](6.12)
kadar genişler. Dolayısıyla, herhangi bir anda bloğun denge konumuna uzaklığı
\[y'=y- \Delta y = y - \frac{mg}{k}\](6.13)
olur. Denk 6.13'ten y çekildikten sonra, denk 6.11'de yerine konursa
\[mg - k (y'+\frac{mg}{k}) = m\frac{d^2}{dt^2} (y'+\frac{mg}{k})\]
veya
\[\frac{d^2 y'}{t^2} + \frac{k}{m} y' = 0\](6.14)
bağıntısı elde edilir Denk 6.14, frekansı olan bir basit harmonik hareket denklemidir. Bu denklemin çözümünden
\[y'(t)=y_{m} cos(\omega t + \alpha)\]
veya denk 6.13 kullanılırsa
\[y(t)=y_{m} cos(\omega t + \alpha) + \frac{mg}{k}\](6.15)
ifadesi bulunur. Burada \(y_{m}\) BHH'in genliğidir. Denk. 6.15'ten görüldüğü gibi, yerçekimi, BHH frekansını değiştirmez sadece denge konumunun yerini değiştirir.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder